Rumus Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

BERANDA > BUKU MATEMATIKA > Rumus Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal


A. Rumus Geometri Tak Hingga


• Rumus Geometri Tak Hingga(Konvergen)(Syarat -1 < r < 1)

\begin{align} S_∞ &= \frac{a}{1 - r} \end{align}

Keterangan:

S = Suku tak hingga a = Suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Geometri Tak Hingga(Divergen)(Syarat r < -1 atau r > 1)

\begin{align} S_∞ &= ∞ \end{align}

Keterangan:

S = Suku tak hingga
∞ = Hasil Tak Hingga

• Rumus Rasio

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1\:atau\:U_3 ÷ U_2\:dan\:seterusnya \\ &= U_n ÷ U_{n - 1} \end{align}

Keterangan:

r = Nilai Rasio atau Perbandingan
U1 = Nilai Suku Ke-1
U2 = Nilai Suku Ke-2
U3 = Nilai Suku Ke-3
U4 = Nilai Suku Ke-4
Un = Nilai Suku Ke-n
Un - 1 = Nilai Suku Ke-(n dikurang 1)

• Rumus Geometri Tak Hingga (Suku Genap)

\begin{align} S_{∞genap} &= \frac{ar}{1 - r^2} \end{align}

Keterangan:

S∞genap = Suku tak hingga bagian genap
a = Nilai suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Geometri Tak Hingga (Suku Ganjil)

\begin{align} S_{∞ganjil} &= \frac{a}{1 - r^2} \end{align}

Keterangan:

S∞ganjil = Suku tak hingga bagian ganjil
a = Nilai suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Rasio dari Geometri Tak Hingga (Suku Genap dan Suku Ganjil)

\begin{align} r &= \frac{S_{∞genap}}{S_{∞ganjil}} \end{align}

Keterangan:

S∞genap = Suku tak hingga bagian genap
S∞ganjil = Suku tak hingga bagian ganjil

B. Contoh Soal Geometri Tak Hingga


• Contoh Soal Nomor 1

Terdapat sebuah deret geometri tak hingga seperti dibawah ini:

16 + 8 + 4 + 2 + .....

Tentukan deret tak hingga dari geometri tersebut!

----------Jawab----------

Sebelum mencari deret tak hingga, terlebih dahulu mencari rasio. Suku ke-1 = 16 dan suku ke-2 = 8.

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1 \\ &= 8 ÷ 16 \\ &= \frac{1}{2} \\ \end{align}

Setelah, kita menemukan rasio. Kita perhatikan rasio tersebut masuk kedalam syarat divergen atau konvergen. Karena -1 < r < 1. Maka, ia termasuk dalam konvergen. Dan yang diperlukan dalam rumus yaitu rasio = 1/2 dan suku awal = 16.

\begin{align} S_∞ &= \frac{a}{1 - r} \\ S_∞ &= \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} \\ S_∞ &= \frac{16}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \\ S_∞ &= \frac{16}{\frac{1}{2}} \\ S_∞ &= 16 ÷ \frac{1}{2} \\ S_∞ &= 16 × \frac{2}{1} \\ S_∞ &= 32 \end{align}

Jadi, deret tak hingga pada geometri diatas adalah 32.

• Contoh Soal Nomor 2

Perhatikan deret geometri tak hingga dibawah ini:

3 + 6 + 12 + 24 + 48 + .......

Tentukan deret geometri tak hingga diatas!

----------Jawab----------

Sebelum mencari deret tak hingga, terlebih dahulu mencari rasio. Suku ke-1 = 3 dan suku ke-2 = 6.

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1 \\ &= 6 ÷ 3 \\ &= 2 \\ \end{align}

Setelah, kita menemukan rasio. Kita perhatikan rasio tersebut masuk kedalam syarat divergen atau konvergen. Karena r < -1 atau r > 1. Maka, ia termasuk dalam divergen. Karena, dalam geometri tak hingga divergen tidak memiliki batas. Maka, hasilnya adalah tak hingga.

\begin{align} S_∞ &= ∞ = Tak\:Hingga \end{align}

Jadi, deret tak hingga pada geometri diatas adalah ∞.

• Contoh Soal Nomor 3

Terdapat sebuah deret geometri tak hingga suku genap adalah 30 dan geometri tak hingga suku ganjil adalah 15, tentukanlah rasio deret geometri tak hingga tersebut!

----------Jawab----------

Setelah membaca soal, kita bisa langsung menemukan rasionya, dengan S∞genap = 30 dan S∞ganjil = 15. Masukan kedalam rumus.

\begin{align} r &= \frac{S_{∞genap}}{S_{∞ganjil}} \\ r &= \frac{30}{15} \\ r &= 2 \end{align}

jadi, rasio pada geometri tak hingga suku genap dan ganjil diatas adalah 2.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Gunakan kata - kata yang sopan untuk mengomentar dan mengkritik.

Jangan lupa memberikan saran dan laporan bila terdapat sesuatu yang ingin kamu sampaikan.

Katakan bila ingin ada materi atau pembahasan yang ingin ditambahkan atau yang kurang lengkap.