Rumus Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

BERANDA > BUKU MATEMATIKA > Rumus Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal


A. Rumus Geometri Tak Hingga


• Rumus Geometri Tak Hingga(Konvergen)(Syarat -1 < r < 1)

\begin{align} S_∞ &= \frac{a}{1 - r} \end{align}

Keterangan:

S = Suku tak hingga a = Suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Geometri Tak Hingga(Divergen)(Syarat r < -1 atau r > 1)

\begin{align} S_∞ &= ∞ \end{align}

Keterangan:

S = Suku tak hingga
∞ = Hasil Tak Hingga

• Rumus Rasio

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1\:atau\:U_3 ÷ U_2\:dan\:seterusnya \\ &= U_n ÷ U_{n - 1} \end{align}

Keterangan:

r = Nilai Rasio atau Perbandingan
U1 = Nilai Suku Ke-1
U2 = Nilai Suku Ke-2
U3 = Nilai Suku Ke-3
U4 = Nilai Suku Ke-4
Un = Nilai Suku Ke-n
Un - 1 = Nilai Suku Ke-(n dikurang 1)

• Rumus Geometri Tak Hingga (Suku Genap)

\begin{align} S_{∞genap} &= \frac{ar}{1 - r^2} \end{align}

Keterangan:

S∞genap = Suku tak hingga bagian genap
a = Nilai suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Geometri Tak Hingga (Suku Ganjil)

\begin{align} S_{∞ganjil} &= \frac{a}{1 - r^2} \end{align}

Keterangan:

S∞ganjil = Suku tak hingga bagian ganjil
a = Nilai suku awal
r = Rasio atau perbandingan

• Rumus Rasio dari Geometri Tak Hingga (Suku Genap dan Suku Ganjil)

\begin{align} r &= \frac{S_{∞genap}}{S_{∞ganjil}} \end{align}

Keterangan:

S∞genap = Suku tak hingga bagian genap
S∞ganjil = Suku tak hingga bagian ganjil

B. Contoh Soal Geometri Tak Hingga


• Contoh Soal Nomor 1

Terdapat sebuah deret geometri tak hingga seperti dibawah ini:

16 + 8 + 4 + 2 + .....

Tentukan deret tak hingga dari geometri tersebut!

----------Jawab----------

Sebelum mencari deret tak hingga, terlebih dahulu mencari rasio. Suku ke-1 = 16 dan suku ke-2 = 8.

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1 \\ &= 8 ÷ 16 \\ &= \frac{1}{2} \\ \end{align}

Setelah, kita menemukan rasio. Kita perhatikan rasio tersebut masuk kedalam syarat divergen atau konvergen. Karena -1 < r < 1. Maka, ia termasuk dalam konvergen. Dan yang diperlukan dalam rumus yaitu rasio = 1/2 dan suku awal = 16.

\begin{align} S_∞ &= \frac{a}{1 - r} \\ S_∞ &= \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} \\ S_∞ &= \frac{16}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \\ S_∞ &= \frac{16}{\frac{1}{2}} \\ S_∞ &= 16 ÷ \frac{1}{2} \\ S_∞ &= 16 × \frac{2}{1} \\ S_∞ &= 32 \end{align}

Jadi, deret tak hingga pada geometri diatas adalah 32.

• Contoh Soal Nomor 2

Perhatikan deret geometri tak hingga dibawah ini:

3 + 6 + 12 + 24 + 48 + .......

Tentukan deret geometri tak hingga diatas!

----------Jawab----------

Sebelum mencari deret tak hingga, terlebih dahulu mencari rasio. Suku ke-1 = 3 dan suku ke-2 = 6.

\begin{align} r &= U_2 ÷ U_1 \\ &= 6 ÷ 3 \\ &= 2 \\ \end{align}

Setelah, kita menemukan rasio. Kita perhatikan rasio tersebut masuk kedalam syarat divergen atau konvergen. Karena r < -1 atau r > 1. Maka, ia termasuk dalam divergen. Karena, dalam geometri tak hingga divergen tidak memiliki batas. Maka, hasilnya adalah tak hingga.

\begin{align} S_∞ &= ∞ = Tak\:Hingga \end{align}

Jadi, deret tak hingga pada geometri diatas adalah ∞.

• Contoh Soal Nomor 3

Terdapat sebuah deret geometri tak hingga suku genap adalah 30 dan geometri tak hingga suku ganjil adalah 15, tentukanlah rasio deret geometri tak hingga tersebut!

----------Jawab----------

Setelah membaca soal, kita bisa langsung menemukan rasionya, dengan S∞genap = 30 dan S∞ganjil = 15. Masukan kedalam rumus.

\begin{align} r &= \frac{S_{∞genap}}{S_{∞ganjil}} \\ r &= \frac{30}{15} \\ r &= 2 \end{align}

jadi, rasio pada geometri tak hingga suku genap dan ganjil diatas adalah 2.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Jangan lupa memberikan saran dan laporan bila terdapat sesuatu yang ingin kamu sampaikan.

Gunakan kata - kata yang sopan untuk mengomentar dan mengkritik.

Katakan bila ingin ada materi atau pembahasan yang ingin ditambahkan atau yang kurang lengkap.