Rumus Perkalian pada Matriks dan Contoh Soal

BERANDA > BUKU MATEMATIKA > Rumus Perkalian pada Matriks dan Contoh Soal


A. Rumus Perkalian pada Matriks


• Rumus Hasil Ordo Perkalian pada Matriks

\begin{align} &\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}& \\ &A = \textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{2}& && &B = \textcolor{red}{2}×\textcolor{blue}{2}& && &C = \textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Keterangan:

Warna merah pada ordo merupakan syarat sebuah matriks dapat dikalikan jika bernilai sama.
Warna biru pada ordo merupakan hasil ordo yang dihasilkan dari matriks yang dikalikan.

• Bentuk Umum Perkalian pada Matriks

\begin{align} \begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{a} & \colorbox{lightblue}{b} \\ c & d \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{e} & f \\ \colorbox{lightblue}{g} & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{ae+bg} & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix} \end{align}

\begin{align} \begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{a} & \colorbox{lightblue}{b} \\ c & d \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} e & \colorbox{lightblue}{f} \\ g & \colorbox{lightblue}{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & \colorbox{lightblue}{af+bh} \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix} \end{align}

\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ \colorbox{lightblue}{c} & \colorbox{lightblue}{d} \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{e} & f \\ \colorbox{lightblue}{g} & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ \colorbox{lightblue}{ce+dg} & cf+dh \end{bmatrix} \end{align}

\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ \colorbox{lightblue}{c} & \colorbox{lightblue}{d} \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} e & \colorbox{lightblue}{f} \\ g & \colorbox{lightblue}{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & \colorbox{lightblue}{cf+dh} \end{bmatrix} \end{align}

Keterangan:

Untuk menentukan hasil kali, kamu tentukan pada matriks pertama adalah baris dan matriks kedua adalah kolom. Dengan tiap urutan yang sama dikali lalu dijumlah untk tiap yang sama.

• Catatan Tambahan

Perlu diingat bahwa matriks hasil perkalian matriks a × b ≠ b × a. Walaupun nilai tiap matriks a dan a, b dan b sama.

B. Contoh Soal Perkalian pada Matriks


• Contoh Soal Nomor 1

Hitunglah hasil perkalian matriks dibawah ini.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -9 & 5 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& \\ &A& && &B& \end{align}

----------Jawab----------

Sebelum kita mencari hasil perkalian, kita harus menentukan hasil ordo matriks terlebih dahulu. Pertama kita cari ordo Tiap - tiap matriks.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& \\ &A=2×3& && &B=3×2& \end{align}

Setelah kita mengetahui ordo Tiap - tiap matriks. Selanjutnya kita cari apakah matriks dapat dikalikan atau tidak dan cari hasil ordo yang dikali.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Seperti warna diatas, warna merah merupakan tanda matriks dapat dikalikan atau tidak, karena nilainya sama maka matriks dapat dikalikan. Selanjutnya warna biru merupakan hasil ordo untuk matriks hasil atau bisa lihat dibawah ini. Dan matriks hasilnya kita beri nama matriks C.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} [] & [] \\ [] & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Setelah mengetahui ordo matriks hasil, sekarang kita cari angka tiap baris dan kolom. Pertama, untuk mencari hasilnya kita harus sesuaikan dengan ordo hasil. Pertama kita mencari baris satu kolom satu, sesuai dengan ditandai warna merah dibawah ini.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{[]} & [] \\ [] & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Nah, untuk mencarinya. Pada matriks A diambil baris satu dan pada matriks B diambil kolom satu. Seperti ditandai warna dibawah ini.

\begin{align} &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{2} & \colorbox{lightgreen}{-3} & \colorbox{pink}{-7}\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{-1} & 7 \\ \colorbox{lightgreen}{2} & -4 \\ \colorbox{pink}{9} & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{[]} & [] \\ [] & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Sesuai dengan warna diatas, tiap warna yang sama dikali dan tiap warna yang beda dijumlah. Maka untuk baris satu dan kolom satu seperti dibawah ini.

\begin{align} &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{2} & \colorbox{lightgreen}{-3} & \colorbox{pink}{-7}\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{-1} & 7 \\ \colorbox{lightgreen}{2} & -4 \\ \colorbox{pink}{9} & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{2×(-1)}+\colorbox{lightgreen}{(-3)×2}+\colorbox{pink}{(-7)×9} & [] \\ [] & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Setelah berhasil menentukan angka pada baris satu dan kolom satu, maka selanjutnya kita cari baris satu dan kolom dua, baris dua dan kolom satu, baris dua dan kolom dua.

\begin{align} &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{2} & \colorbox{lightgreen}{-3} & \colorbox{pink}{-7}\\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & \colorbox{lightblue}{7} \\ 2 & \colorbox{lightgreen}{-4} \\ 9 & \colorbox{pink}{4} \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} 2×(-1)+(-3)×2+(-7)×9 & \colorbox{lightblue}{2×7}+\colorbox{lightgreen}{(-3)×(-4)}+\colorbox{pink}{(-7)×4} \\ [] & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ \colorbox{lightblue}{-9} & \colorbox{lightgreen}{5} & \colorbox{pink}{6} \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} \colorbox{lightblue}{-1} & 7 \\ \colorbox{lightgreen}{2} & -4 \\ \colorbox{lightpink}{9} & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} 2×(-1)+(-3)×2+(-7)×9 & 2×7+(-3)×(-4)+(-7)×4 \\ \colorbox{lightblue}{(-9)×(-1)}+\colorbox{lightgreen}{5×2}+\colorbox{pink}{6×9} & [] \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ \colorbox{lightblue}{-9} & \colorbox{lightgreen}{5} & \colorbox{pink}{6} \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & \colorbox{lightblue}{7} \\ 2 & \colorbox{lightgreen}{-4} \\ 9 & \colorbox{lightpink}{4} \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} 2×(-1)+(-3)×2+(-7)×9 & 2×7+(-3)×(-4)+(-7)×4 \\ (-9)×(-1)+5×2+6×9 & \colorbox{lightblue}{(-9)×7}+\colorbox{lightgreen}{5×(-4)}+\colorbox{pink}{6×4} \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Setelah menemukan hasil Tiap baris dan kolom, lalu kita hitung hasilnya.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} (-2)+(-6)+(-63) & 14+12+(-28) \\ 9+10+54 & (-63)+(-20)+24 \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

seperti penghitungan pada umumnya, dikali terlebih dahulu, lalu dijumlah. Maka hasil akhir adalah dibawah ini.

\begin{align} &\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ -9 & 5 & 6 \end{bmatrix}& &×& &\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}& &=& &\begin{bmatrix} (-71) & (-2) \\ 73 & (-59) \end{bmatrix}& \\ &A=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{red}{3}& && &B=\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}& && &C=\textcolor{blue}{2}×\textcolor{blue}{2}& \end{align}

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Gunakan kata - kata yang sopan untuk mengomentar dan mengkritik.

Jangan lupa memberikan saran dan laporan bila terdapat sesuatu yang ingin kamu sampaikan.

Katakan bila ingin ada materi atau pembahasan yang ingin ditambahkan atau yang kurang lengkap.